1. 概述
- 贝叶斯滤波基于贝叶斯公式发展起来的
2. 贝叶斯公式
基于条件概率公式和全概率公式，我们可以导出贝叶斯公式：
$P(x, y) = P(x|y)p(y) = P(y|x)P(x)$, 得到，
$P(x|y) = \frac{P(y|x)P(x)}{P(y)}$,
其中，$P(y|x)$表示似然概率，或者causal knowledge；$P(x)$称为先验概率或者prior knowledge；$P(x|y)$称为后验概率，是基于观测对状态的诊断或推断。
贝叶斯公式的本质就是利用causal knowledge和prior knowledge来进行状态推断或推理。
3. 滤波算法
假设有一个系统，它的状态方程和量测方程如下：
$x_k = f_k(x_{k-1}, v_{k-1})$和$y_k = h_k(x_k, n_k)$,
其中，x为系统状态，y为测量到的数据，f和h是状态转移函数和测量函数，v和n是过程噪声和测量噪声，噪声都是独立同分布的。
状态估计问题就是根据之前一系列的已有数据$y_{1:k}$递推的计算出当前状态$x_k$的可信度$p(x_k|y_{1:k})$，具体包括预测和更新两个过程
3.1 预测
- 利用系统模型(状态方程)预测状态的先验概率密度，也就是通过已有的先验知识对未来的状态进行猜测，即$p(x_k|x_{k-1})$，它的概率分布形状和系统的过程噪声$v_{k-1}$形状一模一样。如果没有噪声，x(k)完全由x(k-1)计算得到，也就没由概率分布这个概念了，由于出现了噪声，所以x(k)不好确定，他的分布就如同$v_{k-1}$，实际上形状和噪声是一样的，只是进行了一些平移。理解了这一点，对粒子滤波程序中，状态x(k)的采样的计算很有帮助，要采样x(k)，直接采样一个过程噪声，再叠加上 f(x(k-1)) 这个常数就行了
- 由上一时刻的概率密度$p(x_{k-1}|y_{1:k-1})$得到$p(x_k|y_{1:k-1})$，含义是既然有了前面$1:k-1$时刻的测量数据，那就可以预测一下状态$x_k$出现的概率
- 计算推导如下
$p(x_k|y_{1:k-1}) = \int p(x_k, x_{k-1}|y_{1:k-1})dx_{k-1}$
$= \int p(x_k|x_{k-1}, y_{1:k-1}p(x_{k-1}|y_{1:k-1}))dx_{k-1}$
$= \int p(x_k|x_{k-1})p(x+{k-1}|y_{1:k-1})dx_{k-1}$,
其中，等式的第一行到第二行纯粹是贝叶斯公式的应用，第二行得到第三行是由于一阶马尔科夫过程的假设，即状态$x_k$只由$x_{k-1}$决定。
3.2 更新
- 利用最新的测量值对先验概率密度进行修正，得到后验概率密度，也就是对之前的猜测进行修正
- 由$p(x_k|y_{1:k-1})$得到后验概率$p(x_k|y_{1:k})$。这个后验概率才是真正有用的东西，上一步还只是预测，这里又多了k时刻的测量，对上面的预测再进行修正，就是滤波了。这里的后验概率也将是代入到下次的预测，形成递推
$p(x_k|y_{1:k}) = \frac{p(y_k|x_k,y_{1:k-1})p(x_k|y_{1:k-1})}{p(y_k|y_{1:k-1})}$
$= \frac{p(y_k|x_k)p(x_k|y_{1:k-1})}{p(y_k|y_{1:k-1})}$，
其中归一化常数为$p(y_k|y_{1:k-1}) = \int p(y_k|x_k)p(x_k|y_{1:k-1})dx_k$。等式第一行到第二行是因为测量方程知道, y(k)只与x(k)有关。$p(y_k|x_k)$也称之为似然函数，由量测方程决定。也和上面的推理一样，$y_k = h(x_k) + n_k$，x(k)部分是常数，$p(y_k|x_k)$也是只和量测噪声n(k)的概率分布有关。