1. 概述

本系列主要记录入门计算机视觉领域的基础知识

2. 点算子

亮度、对比度的校正，彩色的校正和变换

2.1 像素变换

一个或多个输入图像到一个输出图像的函数，在连续域中将其表示为

$g(x) = h(f(x))$或者$g(x) = h(f_0(x), \dots, f_n(x))$

常用的两个点算子是乘以和加上一个常数

$g(x) = af(x) + b$.

线性混合算子
- 可以使两幅图像或者视频间的时间上的淡入和淡出

$g(x) = (1 - \alpha)f_0(x) + \alpha f_1(x)$.

伽马校正算子

$g(x) = [f(x)]^{\frac{1}{\gamma}}$.

2.1 直方图均衡化

当图像直方图完全均匀分布的时候，此时图像的熵是最大的（随机变量每个值的概率都相同时，概率最大），图像对比度是最大的。所以，理想情况下，图像经过变换函数f(x)f(x)f(x)变换后，直方图能够均匀分布，此时对比度是最大的
提高图像对比度的变换函数f(x)f(x)f(x)需要满足以下条件
- f(x)在0 <= x <= L−1上单调递增(不要求严格单调递增),其中L表示灰度级（L=256）
- f(x)的范围是[0,L−1]
在图像处理中，有一个函数，能够满足上面的条件

$y = f(x) = (L-1)\int_p^x p_x(t)dt$,

其中p(x)表示概率密度函数，在离散的图像中，表示直方图的每个灰度级的概率。f(x)其实就是连续型随机变量x的分布函数，表示的是函数下方的面积。

接下来证明经过该函数变换能够实现直方图均匀化。

由概率论知识，变换后的概率密度为

$p_y(y) = p_x(x)|(f^{-1}(y))’|$.

由变上限函数求导法则可知：

$f(x)’ = (L-1)p_x(x)$.

反函数的导数等于原函数导数的倒数：

$(f^{-1}(y))’ = \frac{1}{(L-1)p_x(x)}$.

所以，

$p_y(y) = \frac{1}{L-1}$.

变换后的概率密度函数是一个均匀分布，对于图像来说，就是每个灰度级概率都是相等的，达到了我们的目的。将这个变换函数转换为图像中的表达，图像中，我们可以知道，可以使用求和代替积分，差分代替微分，所以上述的变换函数为：

$y = f(x) = (L-1)\sum_{0}^{x_i}\frac{h(x_i)}{w\times h}$.

其中，$h(x_i)$表示直方图中每个灰度级像素的个数，$w$和$h$分别表示图像的宽和高。

本质
- 扩展了像素的动态范围
算法
- 输入：图像
- 输出：均衡化后图像
- 算法过程
  - 求出图像的恢复直方图，h（一个256维的向量）
  - 求出图像的总体像素个数机器所占百分比
    
    $N_f = m\times n$,
    
    $hs(i) = h(i) / N_f, i = 0, 1, \dots, 255$.
  - 计算图像各灰度级的累计分布hp
    
    $hp(i) = \sum_{k=0}^{i}h(k), i = 1, 2, \dots, 255$.
  - 计算新图像的灰度值
    
    $g = 255 * hp(i), i = 1, 2, \dots, 255$.
    
    $g = 0, i = 0$.
代码实现

#coding:utf-8
 
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv.imread('source.jpg')
im_gray = cv.cvtColor(img,cv.COLOR_RGB2GRAY)
cv.imshow('im_gray',im_gray)

w, h = im_gray.shape[0], im_gray.shape[1] 

plt.figure()
p1 = plt.hist(im_gray.reshape(im_gray.size,1))
 
#创建直方图
n = np.zeros((256),dtype = np.float)
p = np.zeros((256),dtype = np.float)
c = np.zeros((256),dtype = np.float)
 
#遍历图像的每个像素,得到统计分布直方图
for x in range(0,im_gray.shape[0]):
		for y in range(0,im_gray.shape[1]):
				n[im_gray[x][y]] += 1
print(n)
 
#归一化
for i in range(0, 256):
 	p[i] = n[i] / float(im_gray.size)
 
#计算累积直方图
c[0] = p[0]
for i in range(1,256):
		c[i] = c[i-1] + p[i]
print(c)
 
des = np.zeros((w, h), dtype=np.uint8)
for x in range(0, w):
		for y in range(0, h):
				des[x][y] = 255 * c[im_gray[x][y]]
print(des)

cv.imshow('des',des)
plt.figure()
p2 = plt.hist(des.reshape(des.size, 1))
 
plt.show()

2.2 连通量

在图像中，最小的单位是像素，每个像素周围有8个邻接像素，常见的邻接关系有2种：4邻接与8邻接。4邻接一共4个点，即上下左右；8邻接的点一共有8个，包括了对角线位置的点
如果像素点A与B邻接，我们称A与B连通
如果A与B连通，B与C连通，则A与C连通
在视觉上看来，彼此连通的点形成了一个区域，而不连通的点形成了不同的区域。这样的一个所有的点彼此连通点构成的集合，我们称为一个连通区域
常见算法
- 第一种算法是现在matlab中连通区域标记函数bwlabel中使的算法，它一次遍历图像，并记下每一行（或列）中连续的团（run）和标记的等价对，然后通过等价对对原来的图像进行重新标记，这个算法是目前我尝试的几个中效率最高的一个，但是算法里用到了稀疏矩阵与Dulmage-Mendelsohn分解算法用来消除等价对，这部分原理比较麻烦
- 第二种算法是现在开源库cvBlob中使用的标记算法，它通过定位连通区域的内外轮廓来标记整个图像，这个算法的核心是轮廓的搜索算法，这个我们将在文章中详细介绍。这个算法相比与第一种方法效率上要低一些，但是在连通区域个数在100以内时，两者几乎无差别，当连通区域个数到了103103数量级时，上面的算法会比该算法快10倍以上

1. 概述

2. 点算子

2.1 像素变换

2.1 直方图均衡化

2.2 连通量

参考