1. 微分方程的基本概念

凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程
一般的，n阶微分方程的形式是$F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$
找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程称为恒等式，这个函数叫做该微分方程的解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
设微分方程中的未知函数为$y = \phi(x)$，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是$x = x_0$时，$y = y_0$，或写成$y|_{x = x_0} = y_0$，其中$x_0$，$y_0$都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件
确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解
求微分方程$y’ = f(x, y )$满足初值条件$y|_{x = x_0} = y_0$的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作$y’ = f(x, y)$，$y|_{x = x_0} = y_0$
微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线

2. 可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy = f(x)dx$的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程可化成$\frac{dy}{dx} = \psi(\frac{y}{x})$的形式，那么就称这方程为齐次方程
方程$\frac{dy}{dx} + P(x) = Q(x)$叫做一阶线性微分方程，如果$Q(x) = 0$，那么方程称为齐次的；如果$Q(x) \neq 0$，那么方程称为非齐次的
为了求出非齐次线性方程的解，我们先把$Q(x)$换成零而写出方程$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$，叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程；分离变量后得$\frac{dy}{y} = -P(x)dx$，两端积分得$\ln|y| = -\int P(x)dx + C_1$或$y = Ce^{-\int P(x)dx}$（$C = \pm e^{C_1}$），这是对应的齐次线性方程的通解