1. 定积分的概念与性质

设函数$f(x)$在$[a, b]$上有界，在$[a, b]$中任意插入若干个分点$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，把区间$[a, b]$分成n个小区间$[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots, [x_{n-1}, x_n]$，各个小区间的长度依次为$\Delta x_1 = x_1 - x_0, \cdots, \Delta x_n = x_n - x_{n-1}$，在每个小区间$[x_{i - 1}, x_i]$上任取一点$\psi_i$（$x_{i - 1} \leq \psi_i \leq x_i$），作函数值$f(\psi_i)$与小区间长度$\Delta x_i$的面积$f(\psi_i)\Delta x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$，并作出和$S = \sum_{i = 1}^{n}f(\psi_i)\Delta x_i$。记$\lambda = \max\{\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n\}$，如果当$\lambda\to 0$时，这和的极限总存在，且与闭区间$[a, b]$的分法及点$\psi_i$的取法无关，那么称这个极限I为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的定积分（简称积分），记作$\int_a^b f(x)dx$，即$\int_a^b f(x)dx = I = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i = 1}^n f(\psi_i)\Delta x_i$，其中$f(x)$叫做被积函数，$f(x)dx$叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，$[a, b]$叫做积分区间
设$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上可积
设$f(x)$在区间$[a, b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在$[a, b]$上可积