1. 微分中值定理

费马引理
- 设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意的$x\in U(x_0)$，有$f(x) \leq f(x_0)$（或$f(x)\geq f(x_0)$），那么$f’(x_0) = 0$
罗尔定理
- 如果函数$f(x)$满足
  - 在闭区间$[a, b]$上连续
  - 在开区间$(a, b)$内可导
  - 在区间端点处的函数值相等，即$f(a) = f(b)$
  - 那么在$(a, b)$内至少有一点$\psi$（$a < \psi < b$），使得$f’(\psi) = 0$
拉格朗日中值定理
- 如果函数$f(x)$满足
  - 在闭区间$[a, b]$上连续
  - 在开区间$(a, b)$内可导
  - 那么在$(a, b)$内至少有一点$\psi$（$a < \psi < b$），使等式$f(b) - f(a) = f’(\psi)(b - a)$成立
如果函数$f(x)$在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，那么$f(x)$在区间I上是一个常数
如果当$x\to a$（或$x \to \infty$）时，两个函数$f(x)$与$F(x)$都趋于零或都趋于无穷大，那么极限$\lim_{x\to a或x\to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}$可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做未定式
洛必达法则
- 设当$x\to a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零
- 在点a的某去心领域内，$f’(x)$及$F’(x)$都存在且$F’(x) \neq 0$
- $\lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$存在（或为无穷大）
- 则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$

2. 泰勒公式

泰勒中值定理
- 如果函数$f(x)$在$x_0$处具有n阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有$f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{f^n(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$，其中，$R_n(x) = o((x - x_0)^n)$
设函数$y = f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导
- 如果在$(a, b)$内$f’(x) \geq 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y = f(x)$在$[a, b]$上单调增加
- 如果在$(a, b)$内$f’(x) \leq 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y = f(x)$在$[a, b]$上单调减少
设$f(x)$在区间I上连续，如果对I上任意两点$x_1$，$x_2$恒有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，那么称$f(x)$在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，那么称$f(x)$在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
设$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内具有一阶和二阶导数，那么
- 若在$(a, b)$内$f^n(x) > 0$，则$f(x)$在$[a, b]$上的图形是凹的
- 若在$(a, b)$内$f^n(x) < 0$，则$f(x)$在$[a, b]$上的图形是凸的

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\circ{U}(x_0)$内的任一x，有$f(x) < f(x_0)$（或$f(x) > f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）
设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f’(x_0) = 0$
设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心邻域$\circ{U}(x_0, \delta)$内可导
- 若$x \in (x_0 - \delta, x_0)$时，$f’(x) > 0$，而$x \in (x_0, x_0 + \delta)$时，$f’(x) < 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
- 若$x \in (x_0 - \delta, x_0)$时，$f’(x) < 0$，而$x \in (x_0, x_0 + \delta)$时，$f’(x) > 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
- 若$x \in \circ{U}(x_0, \delta)$时，$f’(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值