1. 导数概念

设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量x在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x + \Delta x$仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x \to 0$时的极限存在，那么称函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f’(x_0)$，即$f’(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，也可记作$y’|_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x = x_0}$
如果函数$f(x)$在开区间I内的每点处都可导，那么就称函数$f(x)$在开区间I内可导。这时，对于任一$x\in I$，都对应着$f(x)$的一个确定的导数值，这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数$y = f(x)$的导函数，记作$y’$，$f’(x)$，$\frac{dy}{dx}$或$\frac{df(x)}{dx}$
函数的和、差、积、商的求导法则
- 如果函数$u = u(x)$及$v = v(x)$都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且
  - $[u(x) \pm v(x)]’ = u’(x) \pm v’(x)$
  - $[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)$
  - $[\frac{u(x)}{v(x)}]’ = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v^2(x)}$（$v(x) \neq 0$）
反函数的求导法则
- 如果函数$x = f(x)$在区间$I_y$内单调、可导且$f’(x)\neq 0$，那么它的反函数$y = f^{-1}(x)$在区间$I_x = \{x|x = f(x), y\in I_y\}$内也可导，且$[f^{-1}(x)]’ = \frac{1}{f’(x)}$或$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
复合函数的求导法则
- 如果$u = g(x)$在点x可导，而$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，那么复合函数$y = f[g(x)]$在点x可导，且其导数为$\frac{dy}{dx} = f’(u)\cdot g’(x)$或$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
基本求导法则和导数公式
- $(C)’ = 0$
- $(\sin x)’ = \cos x$
- $(x^\mu)’ = \mu x^{\mu - 1}$
- $(\cos x)’ = -\sin x$
- $(\tan x)’ = \sec^2 x$
- $(\cot x)’ = -\csc^2 x$
- $(\sec x)’ = \sec x\tan x$
- $(csc x)’ = -\csc x \cot x$
- $(a^x)’ = a^x\ln a (a > 0, a\neq 1)$
- $(e^x)’ = e^x$
- $(\log_a x)’ = \frac{1}{x\ln a} (a > 0, a \neq 1)$
- $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$
- $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- $(\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- $(\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2}$
- $(\arccot x)’ = -\frac{1}{1 + x^2}$

2. 函数的微分

设函数$y = f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0 + \Delta x$在这区间内，如果函数的增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，可表示为$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$，其中A是不依赖于$\Delta x$的常数，那么称函数$y = f(x)$在点$x_0$是可微的，而$A\Delta x$叫做函数$y = f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即$dy = A\Delta x$