1. 映射与函数
- 函数的几种特性
- 函数的有界性
- 函数的单调性
- 函数的奇偶性
- 函数的周期性
- 初等函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
- 由常数和 基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数，如$y = \sqrt{1 - x^2}$
- 双曲正弦$sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
- 双曲余弦$ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
- 双曲正切$th x = \frac{sh x}{ch x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
2. 数列的极限
- 对于定义的记忆，只需要记住公式$|x_n - a| < \epsilon$即可，那么根据公式即可整理出定义
- 极限的唯一性
- 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限唯一
- 对于数列$\{x_n\}$，如果存在正整数M，使得对于一切$x_n$都满足不等式$|x_n| \leq M$，那么称数列$\{x_n\}$是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列$\{x_n\}$是无界的
- 收敛数列的有界性
- 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界
- 但是，有界不一定收敛，例如$1, -1, 1, \dots, (-1)^{n+1}, \dots$
- 收敛数列的保号性
- 如果$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a$，且$a > 0$（或$a < 0$），那么存在正整数N，当$n > N$时，都有$x_n > 0$（或$x_n < 0$）
- 如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n \geq 0$（或$x_n \leq 0$），且$\lim_{n\to \infty} x_n = a$，那么$a \geq 0$（或$a\leq 0$）
3. 无穷小与无穷大
- 无穷小
- 如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小
- 无穷大
- 设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义（或$|x|$大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数X），只要x适合不等式$0 < |x - x_0| < \delta$（或$|x| > X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式$|f(x)| > M$，那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大
- 极限运算法则
- 两个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的和也是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 常数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小的乘积是无穷小
- 如果$\lim f(x) = A$，$\lim g(x) + B$，那么
- $\lim[f(x)\pm g(x)] = A\pm B$
- $\lim [f(x)\cdot g(x)] = A\cdot B$
- 若又有$B\neq 0$，则
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$