1. 对称矩阵的对角化
- 一个对角矩阵是一个满足$A^T = A$的矩阵A，这种矩阵当然是方阵，它的主对角元素是任意的，但其他元素在主对角线的两边成对出现
- 一个nxn矩阵A可正交对角化的充分必要条件是A是对称矩阵
- $R^n$上的一个二次型是一个定义在$R^n$上的函数，它在向量x处的值可由表达式$Q(x) = x^TAx$计算，此处A是一个nxn对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型的矩阵
- 主轴定理
- 设A是一个nxn对称矩阵，那么存在一个正交变量变换$x = Py$，它将二次型$x^TAx$变换为不含交叉项的二次型$y^TDy$
- 一个二次型Q是
- 正定的，如果对于所有$x\neq 0$，有$Q(x) > 0$
- 负定的，如果对所有$x\neq 0$，有$Q(x) < 0$
- 不定的，如果$Q(x)$既有正值又有负值
- 半正定的，如果对所有x，有$Q(x) \geq 0$
- 半负定的，如果对于所有x，有$Q(x) \leq 0$
- 二次型与特征值
- 设A是nxn对称矩阵，那么一个二次型是
- 正定的，当且仅当A的所有特征值是正数
- 负定的，当且仅当A的所有特征值是负数
- 不定的，当且仅当A既有正特征值，又有负特征值
- 设A是nxn对称矩阵，那么一个二次型是