1. 特征向量与特征值
- A为nxn矩阵，$\bf{x}$为非零向量，若存在数$\lambda$使$A\bf{x} = \lambda \bf{x}$成立，则称$\lambda$为A的特征值，$\bf{x}$称为对应于$\lambda$的特征向量
- 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值
- $\lambda_1, \cdots, \lambda_r$是nxn矩阵A相异的特征值，$\bf{v}_1, \cdots, \bf{v}_r$是与$\lambda_1, \cdots, \lambda_r$对应的特征向量，那么向量集合$\{\bf{v}_1. \cdots, \bf{v}_r\}$线性无关
2. 特征方程
- 通过行列式来判断矩阵$A - \lambda I$是否可逆，数值方程$det(A - \lambda I) = 0$称为A的特征方程
- 数$\lambda$是nxn矩阵A的特征值的充要条件是$\lambda$是特征方程$det(A - \lambda I) = 0$的根
- 相似性
- 假如矩阵A和B是nxn举着，如果存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$，或等价地$A = PBP^{-1}$，则称A相似于B，记$Q = P^{-1}$，则有$A^{-1}BQ = A$
- 若nxn矩阵A和B是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（和相同的重数）
3. 对角化
- 如果方阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P和对角矩阵D，有$A = PDP^{-1}$，则称A可对角化
- nxn矩阵可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
- 有n个相异特征值的nxn矩阵可对角化
4. 特征向量与线性变换
- 设V是n维向量空间，W是m维向量空间，T是V到W的线性变换；为了把T与矩阵相联系，指定B和C分别是V和W的基
- V到V的线性变换
- 当W=V，C=B时，M称为T相对于B的矩阵，或简称为T的B-矩阵，记为$[T]_B$
- $V\rightarrow V$的线性变换T的B-矩阵对所有V中的$\bf{x}$，有$[T(\bf{x})]_B = [T]_B[\bf{x}]_B$
- 对角矩阵表示
- 设$A = PDP^{-1}$，其中D为nxn对角矩阵，若$R^n$的基B由P的列向量组成，那么D是变换$\bf{x}\mapsto A\bf{x}$的B-矩阵