1. 向量空间与子空间

定义
- 一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V，在这个集合上定义两个运算，称为加法和标量乘法，服从以下定理，这些定理必须对V中所有向量u, v, w及所有标量c和d均成立
  - $\vec{u}$和$\vec{v}$之和表示为$\vec{u} + \vec{v}$，仍在V中
  - $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
  - $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
  - V中存在一个零向量$\vec{0}$，使得$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
  - 对V中的每个向量$\vec{u}$，存在V中向量$-\vec{u}$，使得$\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$
  - $\vec{u}$与标量c的标量乘法记为$c\vec{u}$，仍在V中
  - $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$
  - $(c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$
  - $c(d\vec{u}) = (cd)\vec{u}$
  - $l\vec{u} = \vec{u}$
子空间
- 向量空间V的一个子空间是V的一个满足以下三个性质的子集H
  - V中的零向量在H中
  - H对向量加法封闭，即对H中任意向量$\vec{u}$和$\vec{v}$，和$\vec{u} + \vec{v}$仍在H中
  - H对标量乘法封闭，即对H中任意向量$\vec{u}$和任意标量c，向量$c\vec{u}$仍在H中

2. 零空间、列空间和线性变换

零空间
- 满足$A\bf{x} = \bf{0}$的所有x的集合为矩阵A的零空间
- mxn矩阵A的零空间写成Nul A，是齐次方程$A\bf{x} = \bf{0}$的全体解的集合，用集合符号表示，即$Nul A = \{\bf{x}: \bf{x}\in R^n, A\bf{x} = \bf{0}\}$
矩阵的列空间
- mxn矩阵的列空间（记为Col A）是由A的列的所有线性组合组成的集合，若$A = [a_1, \cdots, a_n]$，则$Col A = Span\{a_1, \cdots, a_n\}$
- mxn矩阵A的列空间是$R^m$的一个子空间
线性变换的核与值域
- 由向量空间V映射到向量空间W内的线性变换T是一个规则，它将V中每个向量x映射成W中惟一向量T(x)，且满足
  - $T(\bf{u} + \bf{v}) = T(\bf{u}) + T(\bf{v})$，对V中所有$\bf{u}$，$\bf{v}$均成立
  - $T(c\bf{u}) = cT(\bf{u})$，对V中所有$\bf{u}$及所有数c均成立
- 线性变换T的核（或零空间）是V中所有满足$T(\bf{u}) = \bf{0}$的向量$\bf{u}$的集合（$\bf{0}$为W中的零向量）。T的值域是W中所有具有刑事$T(\bf{x})$（任意$\bf{x}\in V$）的向量的集合。如果T是由一个矩阵变换得到的，比如对某矩阵A，$T(\bf{x}) = A\bf{x}$，则T的核与值域恰好是前面定义的A的零空间和列空间

另H是向量空间V的一个子空间，V中向量的指标集$B = \{b_1, \cdots, b_p\}$称为H的一个基，如果
- B是一线性无关集
- 由B生成的子空间与H相同，即$H = Span\{b_1, \cdots, b_p\}$
生成集
- 另$S = \{\bf{v}_1, \cdots, \bf{v}_p\}$是V中的向量集，$H = Span\{\bf{v}_1, \cdots, \bf{v}_p\}$
  - 若S中某一个向量，比如说$\bf{v}_k$，是S中其余向量的线性组合，则S中去掉$\bf{v}_k$后形成的集合仍然可以生成H
  - 若$H \neq \{\bf{0}\}$，则S的某一子集是H的一个基
矩阵A的主元列构成Col A的一个基

对一个向量空间V，明确指定一个基B的一个重要原因是在V上强加一个“坐标系”
惟一表示定理
- 另$B = \{\bf{b}_1, \cdots, \bf{b}_n\}$是向量空间V的一个基，则对V中每个向量$\bf{x}$，存在惟一的一组数$c_1, cdots, c_n$使得$\bf{x} = c_1\bf{b}_1 + \cdots + c_n\bf{b}_n$
假设集合$B = \{\bf{b}_1, \cdots, \bf{b}_n\}$是V的一个基，$\bf{x}$在V中，$\bf{x}$相对于基B的坐标（或$\bf{x}$的B-坐标）是使得$\bf{x} = c_1\bf{b}_1 + \cdots + c_n\bf{b}_n$的权$c_1, \cdots, c_n$

若V由一个有限集生成，则V称为有限维的，V的维数写成dimV，是V的基中含有向量的个数，零向量空间${\bf{0}}$的维数定义为零。如果V不是由一有限集生成，则V称为无穷维的
有限维空间的子空间
- 另H是有限维向量空间V的子空间，若有需要的话，H中任一个线性无关集均可以扩充为H的一个基，H也是有限维的并且$dim H \leq dim V$

行空间
- 若A是一个mxn矩阵，A的每一行具有n个数字，即可以视为$R^n$中一个向量。其行向量的所有线性组合的集合称为A的行空间，记为Row A。由于每一行具有n个数，所以Row A是$R^n$的一个子空间。因为A的行与$A^T$的列相同，也可用$Col A^T$代替Row A
A的秩即A的列空间的维数
mxn矩阵A的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数（即A的秩）还等于A的主元位置的个数且满足方程$rank A + dim Nul A = n$
秩和可逆矩阵定理
- 令A是一个nxn矩阵，则下列的命题中的每个均等价于A是可逆矩阵
  - A的列构成$R^n$的一个基
  - $Col A = R^n$
  - $dim Col A = n$
  - $rank A = n$
  - $Nul A = \{0\}$

设$B = \{\bf{b}_1, \cdots, \bf{b}_n\}$和$C = \{\bf{c}_1, \cdots, 、bf{c}_n\}$是向量空间V的基，则存在一个nxn矩阵$P_{C\leftarrow B}$使得$[\bf{x}]_C = P_{C\leftarrow B}[\bf{x}]_B$